로얼드 호프만의 <같기도 하고 아니 같기도 하고>를 읽기 전에

 

 

'프랙탈(fractal) 이론'은 로얼드 호프만의 <같기도 하고 아니 같기도 하고>를 읽기 전 뿐 아니라, 클리크의 <카오스>, <이기적 유전자>, <수학의 세계>, <우주의 기원>, <자기복제문화> 등을 읽기 전에 알아두어야 하는 개념입니다. 나아가 어떤 사회 전반에 깔려 있는 '~ism'의 속성뿐 아니라, 인간의 심층에 자리한 심리학 구조를 이해하는데도  도움이 됩니다.  프랙탈의 속성은 자기 유사성(Self-Similarity)과 순환성(Recursiveness)이라는 특징을 가지고 있습니다. 자료를 나눠주신 네 분께 감사드립니다.

 

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 <같기도 하고 아니 같기도 하고> -로얼드 호프만

우리 몸은 140억 년 전 빅뱅우주에서 만들어진 가벼운 원소인 수소와 그보다 수십 억 년 후 어느 별에서 만들어진 무거운 원소들이 만나 이루어진 화학원소들의 집단이다. 그렇다면 요즘처럼 ‘화학물질’이라는 단어를 부정적인 의미로만 사용하는 것은 얼마나 자기 비하적인 일인지 모른다.

문제는 현대를 사는 교양인에게 화학의 전모를 제대로 전달하는 책이 별로 없다는 점이다. 그런 의미에서 1981년 노벨화학상을 수상하고 나서 세 편의 시집과 시화집을 출간했고, 심미적 혜안으로 과학을 해석하는 많은 글을 남긴 호프만의 ‘같기도 하고 아니 같기도 하고(The Same and Not the Same)’는 참으로 권장할 만한 책이다.

호프만은 다음 두 문장에서 볼 수 있듯이 화학이 어떻게 삶의 질 향상에 기여하는지를 흥미롭게 서술할 뿐 아니라 과학의 오용에 대해서도 열린 자세를 보여준다.

“나는 과학의 전체적인 영향은 두말할 필요도 없이 가장 깊은 의미에서 민주화라고 생각한다. 과학은 옛날에는 특권 엘리트에게만 허용되었던 필수품과 안락함을 훨씬 더 많은 사람들에게 제공할 수 있도록 했다.”

“과학자들은 자신들의 창조물이 어떻게 이용되고 오용되는가에 대해서도 절대적인 책임을 져야할 것이다.”

화학은 비료를 통한 영양의 증진, 소독을 통한 위생의 향상, 의약품을 통한 질병의 퇴치 등에 기여함으로써 지난 한 세기 동안에 인간 수명이 두 배로 연장되는 데 중요한 몫을 했다.

반면 이처럼 우리 삶에 안락함을 가져다준 화합물들이 환경오염을 가져온 것도 부인할 수 없는 사실이다.

이처럼 화학의 발전에는 대립적인 요소들이 긴장을 조성한다. 서로 같기도 하고 아니 같기도 한 화합물의 미묘한 차이 때문에 어떤 물질은 뛰어난 약효를 나타내고, 유사한 다른 물질은 부작용을 가져오는 긴장감이다.

화학에서 대립적 요소는 결합-분해, 정적-동적, 평형-섭동(攝動·주요한 힘의 작용에 의한 운동이 부차적인 힘의 영향으로 인하여 교란되어 일어나는 운동), 천연물-합성물, 순수-불순, 유익-유해, 순수-응용 등 여러 면에서 드러난다. 호프만은 이런 다양한 화학의 대립적 요소에 대해 적절한 사례를 통해 독자의 이해를 돕는다.

한편 대부분의 화학자가 화학의 실용성만을 내세우고 화학에 대한 일반인의 무지와 부당한 공격에 대해 소극적이고 방어적으로 대응하는 데 비해 호프만은 환경론자의 입장을 이해하고 과학자의 사회적 책임을 말하는 열린 자세를 보여준다.

호프만이 말하는 대로 우리가 물질세계에 대해서, 특히 인간이 세상에 더해 놓은 합성화합물에 대해 기본적인 내용을 알지 못하면 우리는 삶의 질을 향상시키는 여러 가지 가능성에 대해 문을 닫아버리고 결과적으로 민주주의의 확대를 배척하는 결과를 가져올 수 있다.

그래서 21세기의 민주 시민에게 어느 정도의 과학 지식은 필수적이고, 일반인에게 과학에 대한 흥미와 호기심을 불러일으킬 수 있는 책이 긴요히 요구되는 것이다.

그 점에서 화학의 인간적이고 예술적인 면을 보여주는 이 책은 진정한 교양과학도서라 할 만하다.

김희준 서울대 교수·화학부

 

 

 

 

 

 

-----------------자료 1 

 

 

 

 

프랙탈(fractal)은 철저히 "조각난" 도형을 뜻한다. "프랙탈"이라는 말은 브누아 만델브로가 만들었는데, "조각난"이란 뜻의 라틴어 형용사 "fractus"에서 왔다. 많은 경우에 프랙탈은 컴퓨터의 재귀적이거나 반복적인 작업에 의한 반복되는 패턴으로 이루어진다. 이 도형의 두드러진 특징은 자기닮음성과 무한히 확대를 해도 도형의 세부적인 것이 없어지지 않는다는 점이 있다. 프랙탈은 구조와 불규칙성을 같이 가질 수 있다. 프랙탈은 수학적 도형으로도 연구되고 있다. 수학자들은 프랙탈의 여러 가지 정의를 만들었다. 프랙탈 기하학은 프랙탈의 성질을 연구하는 수학 분야의 하나이다. 이는 과학, 공학, 컴퓨터 예술에 적용되기도 한다. 프랙탈의 예로는 만델브로 집합, 칸토어 집합, 시에르핀스키 삼각형, 페아노 곡선, 코흐 눈송이 등이 있다. 프랙탈은 deterministic하거나 stochastic할 수 있다. 카오스 시스템과 연관지어 발생할 수도 있다. 프랙탈은 크게 네 가지로 나눌 수 있다. 기하학적 프랙탈. 기하학적인 법칙에 의해서 만들어진 프랙탈이다. 칸토어 집합과 시어핀스키 삼각형, 페아노 곡선, 시에르핀스키 삼각형, 페아노 곡선, 코흐 눈송이 등이 이에 해당된다. 기이한 끌개. 초기 점을 정하고, 주어진 함수에 의해서 재귀적으로 변환된 점을 찍어서 만들어진다. 유명한 것으로 선형 변환에 의한 IFS(Iterated function systems)가 있다. Escape-time fractals. 주어진 맵이 이미지에 해당하는 각각의 점에 대해 얼마나 빨리 발산하는지를 색채로 나타낸 것. 만델브로 집합과 쥘리아 집합 등이 있다. Random fractals. deterministic하지 않고 stochastic한 방법으로 만들어진 것. 이들 중 기하학적 프랙탈만이 완벽한 자기유사성을 가지고 있다. 반면 만델브로 집합은 느슨하며, "통계적인" 자기 유사성을 가지고 있는데, 확대할 때마다 자기 자신의 모습이 변형된 형태로 나타난다. 프랙탈은 보통 컴퓨터 프랙탈 소프트웨어를 사용해서 계산된다. 프랙탈은 실용적인 목적으로 많이 사용되며, 현실 세계의 매우 불규칙한 물체들을 표현하기 위해서 쓰일 수 있다. 구름, 산, 난류, 해안선 및 나뭇가지들이 여기에 해당된다. 프랙탈 기법은 이미지 압축과 과학의 여러 분야에서도 사용된다.     --------------------------- 자료 2 아핀변환과 프랙탈 자연에는 규칙적인 것보다는 불규칙적인 것이 대부분이다. 프랙탈은 은하계부터 미세 원자세계에 이르기까지 우주의 모습을 총체적으로 표현할 수 있는 도구로 여겨진다. 이러한 프랙탈 구조는 자연이 가지 는 기본적인 속성이다. 프랙탈이론에 따르면 자연에서 흔히 발견되는 무질서한 운동도 잘 정의된 방정식으로 나타낼 수 있고 그 안에서의 질서를 찾아낼 수 있다. 자기유사성은 단순한 확대나 축소가 아니라 전체를 바라보는 새로운 ‘눈’을 제시하는 것이다. 자연에서 일어나는 현상들은 갑자기 불쑥 일어나지 않으며 대부분의 현상은 기존에 존재하는 것에서 발전되고 변천되어 나타난다. 자연에서 프랙탈 구조를 갖고 있는 예들은 무수히 많다. 허파에서 동맥이 갈라져서 실핏줄을 이루는 구조나 우 리 몸 속의 기관지, 뉴런, 심장구조, 고사리, 공작의 깃털무늬, 구 름과 산, 해안선의 형태, 은하 구조 등 자연과 우주에서 발견되는 많은 사물들이 프랙탈의 예에 속한다. 프랙탈이 만들어내는 형상은 실로 환상적이다. 이제 피타고라스 정리에 나오는 도형을 반복의 재료로 삼아 피타고라스 나무를 그려지는 과정을 살펴보기로하자. 함수 p(x )에서값이 변함에 따라 이 함수가 그리는 도형이 어떻게 변화하는지 알아보자. x=0 이면, 정사각형이 그려진다. p(1)은 이 정사각형을 밑으로 하는 피타고라스 정리에서 나오는 그림이 된다. p(2)은 p(1)에서 새로 그려진 정사각형들을 밑으로 해서 3개씩의 정사각형이 새로 그려진다. 이렇게 p(n)은 p(n-1)에서 새로 그려진 정사각형을 밑으로 해서 새로이 정사각형을 추가하는 것이다. 이렇게 계속 그려나가면 어떤 그림이 그려지는가? 다음과 같은 모습으로 가는데, 이러한 모습의 그림을 피타고라스 나무라고 부른다.     피타고라스의 정리 - "피타고라스의 나무"를 클릭해봅시다       이 그림은 피타고라스 정리를 만족시키는 삼각형들을 반복의 재료로 삼아 피타고라스 정리에 의한 알고리즘으로 그려진 나무의 모습이다. 여기에 전체의 통일감을 잃지 않을 정도의 자유도를 줄 수 있다면 실제의 자연형상과 프랙탈 그래픽 결과의 차이가 점점 없어질 것이다. 이와같이 엉뚱한 재료를 단순 반복하여 얻은 그림이 자연의 복잡한 형상과 비슷하다는 사실에서 우리는 자연의 복잡성을 새롭게 보는 시각을 얻게된다. 이제 아핀변환과 프랙탈 그림과의 관계를 살펴보기 위해 다음과 같은 꽃가지 모양의 프랙탈 그림을 도입한 후, 전체의 모습과 닮은 프랙탈 조각과 아핀변환을 통해 본래의 모습을 그려보자. 여기서 각각의 사각형 안에 있는 나무가지의 모습은 전체 나무 가지의 모습과 닮았음을 주목하자. 여기서 각각의 사변형에 들어있는 각각의 프랙탈 조각들은 아핀변환 한 개와 대응된다. 여기서 아핀변환이란 다음의 식과 같이 평면상의 좌표 (x,y)를 (x',y')에 대응시키는 함수이다. a x + b y = e , c x + d y = f　 즉, = + 따라서 위의 그림은 세 개의 아핀변환을 이루는 6x3=18개의 숫자(계수)들과 관련이 있는데, 이 숫자들은 마치 그림의 유전자 코드 와 비슷한 것이어서 그 숫자들을 조금만 바꾸어도 돌연변이에 해당하는 약간 다른 그림을 보게된다. 실제로 컴퓨터에서 나무가지를 그리는데 사용된 18개의 숫자들을 약간씩 변형시키며 그림을 그려보면 여러 형태의 비슷한 모양의 나무가지를 보게 된다. 이제 위의 꽃가지 그림과 관계되는 3개의 아핀변환을 반복의 재료로 삼아 나무가지의 그림을 그려나가는 다음의 과정을 살펴보자. 다음에서 보듯이 이 과정을 컴퓨터로 계속하면 점점 원래의 나무가지의 모습이 컴퓨터 화면에 떠오르게 된다. 즉, 다음의 과정을 계속할 때 그 과정의 극한값(그림)에 해당하는 것이 존재하며 그것이 나무의 모양을 갖게 된다. 이와 같이 극한값이 존재하는 이유는 다음의 과정이 축소대응(contraction mapping) 이며 또한 평면상의 닫힌집합들의 모임이 완비성(Completeness)을 갖기에 성립한다. 따라서 유일한 고정점(fixed point)인 극한값을 갖게 된다.                   여기에서도 이와같이 주어진 그림을 그 것의 프랙탈 조각들로 나눈 후, 찾아진 프랙탈 조각들로 부터 전체의 모습을 극한과정을 통해 그려낼 수 있음을 보게된다. 이러한 관찰에서 출발하여 미국 조지아 공과대학 교수인 반슬리(Barnsley)는 주어진 그림에서 프랙탈 조각을 찾고, 또한 찿아진 프랙탈 조각들을 자기닮음성을 그려줄 수 있는 아핀변환들의 모임을 통해 표현하고, 또한 컴퓨터를 통해 주어진 그림을 그려내는 기발한 방법을 발견하게 된다. 여기서 프랙탈 조각으로 부터 만들어진 아핀변환들의 모임을 IFS (Iterated Function System)라고 부르는데, IFS는 건축가가 집을 묘사하는 것처럼 산과 구름같은 복잡한 그림을 정의하고 또한 표현할 수 있다. 프랙탈 조각들과 이들의 IFS를 통해 자연의 여러 모습을 그려내는 작업은 매우 재미있는 일이다. 이 때, 나타내고자 하는 풍경이나 자연의 모습을 원하는 만큼 정확하게 표현하기 위해서는 적당한 프랙탈 조각 (아핀변환) 들을 찾는 수학적 능력이 필수적이다. 이제 단지 네개의 프랙탈 조각에서 나온 IFS를 통해 그릴 수 다음의 나무 모습들을 보자. 여기서 프랙탈 조각들을 약간씩 변형시키면 여러 모양의 나무 모양도 그려낼 수 있음에 주목하자.                 사용된 아핀변환의 개수가 많을 수록 좋은 프랙탈 그림을 그릴 수 있는데, 다음은 5개의 아핀변환을 사용하여 그린 가을철 낙엽진 나무의 모습이다. 　                                                                                                                                           http://cafe.daum.net/kghicons/3PPK/87

 

 

 

 

 

 ------------------------------- 자료 3

 

          

라이프니쯔(1646-1716) , 모나드에 관한 그의 원고(1714)

 

17세기의 저명한 철학자이자 수학자, 물리학자인 라이프니쯔(Gottfried Wilhelm Leibniz)는 모나드론(Monadology) 이라는 독특한 사상을 발표하였습니다.

그것은, 우주는 무수한 단자(monad)로 이루어져 있고 개개의 단자 속에는 하나의 완전한 우주가 구현되어 있다는 사상입니다.

 

'프랙탈'(fractal) 이란 이름은 1975년 만델브로트(Benoit. B. Mandelbrot, 1924-  )에 의해 지어졌으나, 이러한 형상들에 관한 추상적 논의는 훨씬 이전부터 있었습니다. 칸토르 입자(Cantor's dust), 코흐 눈송이(Koch snowflake), 시어핀스키 판(Sierpinski's Gasket) 등이 그 예 입니다.

 

 

      

칸토르 입자 (Cantor's Dust)                  칸토르(Georg Cantor, 1845-1918) 

 

 

프랑스의 수학자인 만델브로트(Mandelbrot)는 1967년 영국에서 발행되는 과학 잡지인 '사이언스'에 「영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가」라는 제목의 글을 발표했습니다.

간단하게 생각하면 바보같은 질문 같은데 이 글에서 만델브로트는 영국의 해안선의 길이는 어떤 자로 재느냐에 따라 얼마든지 달라질 수 있다고 주장했습니다. 1m 단위의 자로 재었을때와 1cm 단위의 자로 재었을때는 둘레의 길이가 엄청난 차이를 낳을 것이라는 것이죠.

 

 

                   

코흐눈송이                             코흐(Helge von Koch,1870-1924)

 

당시 큰 관심을 가지고 있지 않던 과학자들도 이후 그가 프랙탈 이론의 선구자로 알려진 후에는 해묵은 '사이언스' 誌를 뒤적거렸다는 우스운 이야기도 전해지고 있습니다.

 

 

  

시어핀스키 판(Sierpinski's Gasket)    시어핀스키(W. Sierpinski, 1882-1969) 

 

 

'프랙탈' 이라는 용어는 만델브로트가 IBM에서 연구원으로 근무하던중 자신이 연구하던 것들을 책으로 출간하기 위해 책의 제목을 생각하다가 라틴어의 Fractus(부서진)라는 낱말을 발견하여 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있고, 프랙탈 기하학이 정수가 아닌 분수(Fractional)차원을 가진다는 의미에서 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있습니다.

 

 

  프랙탈의 속성은 자기 유사성(Self-Similarity)과 순환성(Recursiveness)이라는 특징을 가지고 있습니다. 이 아이디어를 잘 생각해 보면 그것은 우주의 프랙탈(fractal)구조를 표현하고 있음을 알 수 있습니다.

즉, 하나의 입자가 그 속에 다른 또 하나의 완전한 우주를 담고 있다면 그 우주는 더욱 더 작은 무수한 입자들로 구성되어 있을 것이고, 또 그 하나하나의 입자 속에는 또 다른 더 작은 우주가 재현될 것입니다.

이러한 과정은 끝없이 반복될 것이며 따라서 이것을 프랙탈 구조라고 말할 수 있을 것입니다. 만약 우주가 프랙탈 구조로 이루어져 있는 것이 진실이라면, 우리가 속해 있는 이 거대한 우주 또한 하나의 입자라고 말할 수 있을 것입니다.

 

 

 

 

우리는 하나의 입자에 지나지 않는 세계 속에 살고 있는지도 모릅니다. 그리고 우주와 같은 입자들이 무수히 많이 있는지도 모릅니다. 그렇다면 그 모든 우주 입자들을 포함하는 거대한 존재가 있을 것입니다.

그리고 그 거대한 존재가 모든 것의 끝일 리가 없습니다. 그 거대한 존재 또한 그 보다 더욱 거대한 우주 속의 입자 하나에 지나지 않을 것입니다. 프랙탈 구조 속에서는 이러한 과정 역시 끝없이 반복될 것입니다.

프랙탈 구조로 된 우주에서는 '무한' 만이 유일한 답이 됩니다. '무한' 은 수평적으로 무한할 뿐만 아니라 수직적으로도 무한합니다. 이와 같은 생각은 철학적인 관점에서는 상당히 평가될 만하지만, 아직까지는 과학적인 관점에서 본다면 '공허한 논리' 가 아닌가 합니다.

 

 

 

프랙탈이란?
  

   프랙탈은 만델브로트가 1975년 라틴어 'fractus'로부터 만들어낸 단어이다. 만델브로트는 자연에서 발견되는 복잡한 대상을 표현하는 데 있어서 유클리트 기하로는 충분하지 않으며, 새로운 기하학이 필요하다고 인식하고 프랙탈 기하학을 창시하였다. 실제로 프랙탈이 출현한 것은 19세기였으며, 칸토르 집합, 페아노 곡선, 코흐 곡선, 코흐 눈송이, 시어핀스키 삼각형 등을 들 수 있다. 하지만 당시 유클리드기하의 관점으로는 매우 이상한 병적인 대상으로 취급되어 '괴물곡선'이라고 불리웠고, 수학이나 과학에서 중요하지 않은 것으로 여겨졌다.

 

  그러나, 오늘날에는 수학에서는 물론 물리, 생물, 화학, 기상학, 의학, 컴퓨터 과학, 카오스 현상의 연구 등 여러 분야에서 활발히 논의되고 있다. 프랙탈은 해안선의 구조, 구름의 모습, 산의 모습, 지진의 분포, 고사리 잎의 모습, 은하계의 분포, 달의 분하구, 혈관조직, 뇌조직, 신경조직, 인구동향 등 자연 속에서 쉽게 발견된다.

 

 

 

자연은 멀티프랙탈 구조

 

일반적인 프랙탈 도형들은 전체를 보아도 그 일부분을 보아도 프랙탈 차원은 똑같다.  코흐곡선 전체의 차원은 약 1.26 이고 그 일부분의 차원도 역시 약 1.26 이다.  이처럼 보통의 프랙탈 도형은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 일치한다.  그것은 생성자가 하나였으므로 당연한 일이다.  그러나 만델브로 집합은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 다르다.  국소적으로 1.5 차원인 것들을 모아서 만들 전체의 차원은 1.3 이 되는 것이다.  이러한 프랙탈을 멀티프랙탈이라고 한다.  자연의 형태는 대부분 이러한 멀티 프랙탈 구조를 가지고 있다.

 

 

번개의 전파는 습도, 기압, 온도, 이온화의 경향 등 여러 조건이 복잡하게 얽혀서 그 경로가 결정되기 때문에 일직선이 아니고 구불구블 진행하며 가지치기를 한다.  그 모습은 불규칙하지만 전체와 가지의 비슷한 구조를 하고 있다.

 

 

강은 프랙탈 적이다.  큰 강줄기나 그 지류는 서로 비슷한 분기상태를 하고 있다.  한강의 일부 지류를 큰 강줄기와 비교하면 금방 닯음의 관계을 알 수 있다.

 

 

 

구름의 모양은 다양하지만 공통적으로 통게적인 프랙탈 구조를 갖는다. 뭉게구름도 마찬가리로 프랙탈의 입장에서 볼 수 있으며 실제로 그 차원은 대략 1.35 정도가 된다.  

 

 

 

뇌에는 커달란 주름을 자세히 들여다 보면 다시 더 작은 주름이 계속되어 간다.  뇌가 프랙탈 구조를 갖는 이유는 좁은 공간안에 되도록 많은 뇌세포를 배치하기 위해서이다.  뇌의 구조는 2.72~2.79의 차원을 갖는다.

 

 

주가의 그래프를 하루 단위 또는 1개월 단위로 그려도 그래프는 같은 정도의 복잡한 모양으로 변화한다.  이것은 시간을 확대 또는 축소해 보아도 변화의 상태가 같다는 것인데 이것은 주가의 변동이 시간에 관해서 프랙탈 적임을 의미한다.  하루동안의 주가 변동이 1개월 후의 주가 변동과 동계적으로 닯은 꼴이라는 것은 내일의 주가를 예상하는 일이 1개월 후의 주가를 예상하는 것만큼이다 어려운 일임을 똣한다.

 

 

밤하늘 에 있는 별들의 수는 거의 무한대에 가깝다.  다라서 밤하늘은 대낮보다 밝아야 한다.  그런대 왜 밤하늘은 칠흙처럼 어두운가?  이문제가 바로 '올버스의 역설' 이다. 그 해답은 별의 분포가 프랙탈 구조이기 때문이다.  별군은 여기저기 산재되어 있고 그 별군을 확대해 보면 그와 유사한 구조로 별군이 나타난다.  그리고 확대를 계속하여도 그 유사구조는 한없이 나타난다.

  

  

프랙탈의 특징
 

   프랙탈은 자기 유사성과 소수 차원이라는 두 가지의 큰 특징을 갖는다.
  

 

1) 자기 유사성 : 어떤 도형의 부분이 전체의 도형과 같은 성질을 말한다. 즉, 도형의 일부를 확대하면 다시 전체의 모습이 되는 성질이다. 나무가지나 구름의 모습, 해안선 등 우리 주변에서 자기 유사성을 갖는 것을 쉽게 관찰할 수 있다.즉 나무가지의 일부는 전체 나무가지와 유사하고, 일부 해안선은 전체 해안선의 모습과 유사하다. 꽃양배추라고 불리는 컬리플라워의 작은 부분을 확대하고 다시 작은 부분을 확대해 가면서 전체와 비교해 보면 모양이 유사함을 알 수 있다. 흔히 수학에서 도형이 닮았다고 하는 것은 크기는 다르더라도 모양이 같을 때를 말한다. 프랙탈 도형은 아래 그림과 같이 각 단계 도형의 일부분이 바로 전 단계의 도형과 유사하다. 단계가 커지게 될수록 도형의 부분과 전체가 더욱 닮아간다. 아래 그림은 코흐 곡선과 시어핀스키 삼각형의 구성과정을 보이는 것으로 이러한 과정이 무한히 반복되었을 때 코흐 곡선과 시어핀스키 삼각형이 된다.

  2) 소수차원 : 유클리드 기하의 차원에서는 점은 0차원, 직선은 1차원, 평면은 2차원, 공간은 3차원이다. 현재 우리는 3차원에 살고 있다고 말하며, 또한 시간을 넘나드는 4차원의 세계를 그려보기도 한다. 그렇다면 면을 가득 채우는 선은 1차원인가 아니면 2차원인가? 또는 공과 같이 구겨진 종이는 평면인 2차원인가 아니면 3차원인가? 이러한 질문에 대하여 유클리드 기하는 불규칙한 모습의 본질을 나타낼 수 없기 때문에 답하기 어렵다. 프랙탈 기하에서는 위의 질문에 대하여 면을 가득 채우는 선은 선이 채워진 정도에 따라 1과 2사이의 소수로, 공과 같이 구겨진 종이는 구겨진 정도에 따라 2와 3사이의 소수로 그 차원을 나타낼 수 있다. 이와 같이 소수 차원은 거칠은 정도, 불규칙의 정도, 공간을 채우는 정도까지도 나타낼 수 있는 측도이다. 그리스 유클리드 이래 2천년 이상이나 차원의 개념은 거의 변화가 없었으나 19세기말 칸토르로 인하여 차원 개념의 연구는 새롭게 진행된 것이다. 프랙탈의 차원을 계산하는 방법은 자기 유사성 차원, 상자 차원 등 여러 가지 방법이 있다. 이때의 프랙탈 차원은 기존 차원을 부정하는 개념이 아니라 기존 차원의 의미를 확장시키는 것으로 보아야 한다. 유클리드 도형을 프랙탈 차원으로 계산하면 유클리드 기하에서와 같은 차원을 같게 되며, 프랙탈 차원은 기존 차원을 포괄하고 있다. 프랙탈은 소수 차원으로 특정 도형의 넓이, 부피의 측도 뿐아니라 복잡한 형태의 도형까지도 수학적으로 다룰 수 있게 된 것이다.

 

 

자료 2 출처: http://kin.naver.com/detail

 

 

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art┃프랙탈 아트_ 수학의 역설 ② 프랙탈아트_ Fractal Art Chaos ± Computer ÷ Creativity × Communication = Fractal Art justinKIM       이 신비한 판화는 에셔의 작품이다. 수학이 무색한 네덜란드의 판화가 엣셔의 '천국과 지옥(1960년)'은 프랙탈의 진수를 맛보게 한다.   《올라가기와 내려가기 Ascending and Descending》(1960)     올라가는 길도 없고 내려가는 길도 없는 에셔의 작품들은 그림의 고정관념을 깨기 시작했다.           원근법이 깨지게 된 것은 화가들이 원근법이 눈의 착각임을 깨닫고 인간의 내면 세계로 눈을 돌렸기 때문이다.   20세기에 들어 처음 등장한 수학의 프랙탈 이론은 미술에도 많은 영향을 끼쳤다. 프랙탈은 눈의 결정이나 야채의 한 종류인 브루클리 모양처럼 뽀글뽀글한 무늬가 반복되면서 나타나는 것. 네덜란드의 판화가 엣셔의 '천국과 지옥(1960년)'은 프랙탈의 진수를 맛보게 한다. 박쥐를 연속적으로 그린 이 작품은 검은 색 바탕을 보면 박쥐가, 흰 바탕을 보면 천사가 연속적으로 있는 것 처럼 보인다. 프랙탈을 이용해 파라독스를 표현한 작품이기도 하다.     에셔 M.C. Escher   에셔는 Maurits Cornelis Escher 에스헤르(에셔).   1898. 6. 17 네덜란드 레바르덴~1972. 3. 27 라렌.   사실주의적 세부묘사를 통해 기이한 시각효과와 개념적 효과를 성취한 판화작품으로 유명한 네덜란드의 판화가·그래픽 아티스트.   1898년 6월 17일 네덜란드의 프리슬란트주 레바르덴에서 토목기사의 막내 아들로 태어났다. 1919년 하를렘에 있는 건축장식미술학교 건축과에 입학했는데 점차 관심이 판화로 옮겨가게 되어, 이후 그래픽과로 옮겼다. 1922년까지 건축장식미술학교에서 판화제작 기술을 배웠다. 초기에는 풍경화가로 이탈리아 등지를 여행하며 전원풍경을 주로 그렸다. 1922∼35년까지는 이탈리아, 1935∼36년까지는 스위스에 머무르면서 스케치를 하며 유럽 전역을 여행했는데 이 시기의 그의 작품은 서로 모순되는 원근법을 이용한 환상적인 수법으로 풍경과 자연현상을 묘사한 것이었다.       Waterfall, 1961.     1936년 에스파냐의 그라나다에 있는 알람브라궁전을 방문한 뒤 아라베스크 양식으로 궁전의 벽과 마루를 장식한 타일의 이슬람 모자이크에 자극을 받았다. 이때부터 기하학적 원리에 따른 환상을 자세히 그린 특이한 작풍을 추구하기 시작하였으며, 물고기·새·동물 등을 반복적으로 대칭배열하여 전체 패턴을 구성하였다. 판화가로서 그의 원숙한 화풍은 꼼꼼한 사실주의와 역설적인 시각효과 및 원근법 효과를 결합한 1937년 이후의 판화 연작에 잘 나타나 있다. 1941년 네덜란드의 바른에 머물며 이전의 풍경적 사물화에서 탈피하였고, <수학적 화상>이라고 하는 그만의 독특한 세계인 공간과 평면의 마술적 구조를 목판화와 석판화로 제작하였다.       Drawing Hands, 1948.   1944년 무렵부터 초현실주의적 색채를 띤 그의 작품은 3차원적 구성을 2차원적으로 표현해 사실과 상징, 시각적 환영, 시각과 개념의 관계 등을 다루어 실제경험으로는 모순된 것에 합리적 느낌을 나타냈다. 공간착시와 불가능한 장면의 사실적 묘사, 정다면체를 소재로 한 작품을 만들었으며, 판화작품에서는 수학적 개념이 핵심적 역할을 하였다. 1950년 무렵 인정을 받기 시작하여 1968년 헤이그시립미술관 회고전에서 국제적인 명성을 얻었다. 그는 주변에 있는 것을 보이는 대로 그리지 않고 자기의 상상에 기본을 두고 내적 이미지를 표현하였다. 평면의 규칙적인 분할을 바탕으로 한 무한한 공간, 공간 속의 원과 회전체 등이 작품의 중심을 이루었다. 뛰어난 기량을 발휘해 평범한 일상 사물들에서 예기치 않은 은유를 포착한 그의 작품들은 수학자와 지각 심리학자 및 일반 대중의 관심을 끌었고 20세기 중엽 널리 복제·보급되었다. 주요작품으로는《반사되는 공을 든 손 Hand with Reflecting Globe》(1935) 《올라가기와 내려가기 Ascending and Descending》(1960) 《폭포 Waterfall》(1961) 등의 석판화가 있다. .http://cafe.daum.net/docebe/PUN/5304